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「きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか」の不適切な記述

「きみは「ロピタルの定理」を本当に知っているか」というWebページにコメントしたところ、えらく怒りを買ってしまった。自分のサイトで書けということなのでここで書こう。ロピタルの定理の条件として、$g'(x) \neq 0$が明記されていないので、明記すべきであるとコメントした。明記しないと間違いだとは言えないが、連続関数と極限の定義によっては正しくないので不適切な記述だと思う。実際、$g'(x) \neq 0$を明記している教科...

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ロピタルの定理

ロピタルの定理は高校数学の必殺技である。知っているのと知らないのでは、答えを出すスピードがまったく違うことがある。もっとも、まともな大学なら、ロピタルの定理を知っているかどうかで点数が大きく変わるような入試問題は出さないだろう。0/0の形で、$x \to a$の場合のロピタルの定理を述べておく。ある開区間$(a,b)$で定義される$f$と$g$が微分可能であり、$g'(x) \neq 0$ for every $x$、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$, $\...

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極限の定義は難しい

以下の等式は成り立つ。実際、Maximaに掛けてみても極限は1だと言っている。\begin{eqnarray}\lim_{x \to 0}{\frac{\sin \frac {1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}} = 1\end{eqnarray}この分数の定義域は、$\sin (1/x)$ がゼロにならない実数である。適当な $\delta>0$ を取れば(というかどんな正実数であっても)、 $0 < |x| < \delta$ かつ$\sin (1/x) \neq 0$ なる $x$ に対し、この分数は1である。したがって、この等式は成り立...

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極大・極小と微分係数

ロルの定理の証明をみると、極大・極小と微分についての結果が必要なので、微分積分読本にある記述を定義と定理としてまとめておく。定義(極大・極小)$x_0$で$f$が極大値をとる $\iff$ある正実数$\delta$があって、どんな$x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$に対しても、$f(x_0) \ge f(x)$である$x_0$で$f$が極小値をとる $\iff$ある正実数$\delta$があって、どんな$x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$に対しても、$f(x_0) \...

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三角関数、双曲線関数、指数関数、対数関数、極小、極大、高階微分

引き続き微分積分読本の微分の章を読んでいる。ロルの定理の前まできょうは読んだ。三角関数とその逆関数、双曲線関数とその逆関数、指数関数と対数関数(底が$e$のときと一般の正実数のとき)のそれぞれについて微分を求めている。定義に従って求めることは一瞬とまでは行かないが、少し時間をかければ出来る。暗記は別にしなくていいだろう(数検1級を受けるのでない限り)。極小、極大はさすがに覚えていたが、変曲点はちゃんと...

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