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ロピタルの定理

ロピタルの定理は高校数学の必殺技である。知っているのと知らないのでは、答えを出すスピードがまったく違うことがある。もっとも、まともな大学なら、ロピタルの定理を知っているかどうかで点数が大きく変わるような入試問題は出さないだろう。0/0の形で、$x \to a$の場合のロピタルの定理を述べておく。ある開区間$(a,b)$で定義される$f$と$g$が微分可能であり、$g'(x) \neq 0$ for every $x$、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$, $\...

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極限の定義が分からない

やはり自分には、よく分かっていないようだ。以下の等式は成り立つのか?\begin{eqnarray}\lim_{x \to 0}{\frac{\sin \frac {1}{x}}{\sin \frac{1}{x}}} = 1\end{eqnarray}私は左辺は定義されないと思う。理由を以下に書く。$0$の近傍で分母がゼロになることがある。すなわち、どんな $\delta>0$ をとっても、 $0 < |x| < \delta$ なる $x$ であって$\sin \frac{1}{x}$ がゼロになる $x$ はいくらでも存在する。したがって、$...

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極大・極小と微分係数

ロルの定理の証明をみると、極大・極小と微分についての結果が必要なので、微分積分読本にある記述を定義と定理としてまとめておく。定義(極大・極小)$x_0$で$f$が極大値をとる $\iff$ある正実数$\delta$があって、どんな$x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$に対しても、$f(x_0) \ge f(x)$である$x_0$で$f$が極小値をとる $\iff$ある正実数$\delta$があって、どんな$x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$に対しても、$f(x_0) \...

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三角関数、双曲線関数、指数関数、対数関数、極小、極大、高階微分

引き続き微分積分読本の微分の章を読んでいる。ロルの定理の前まできょうは読んだ。三角関数とその逆関数、双曲線関数とその逆関数、指数関数と対数関数(底が$e$のときと一般の正実数のとき)のそれぞれについて微分を求めている。定義に従って求めることは一瞬とまでは行かないが、少し時間をかければ出来る。暗記は別にしなくていいだろう(数検1級を受けるのでない限り)。極小、極大はさすがに覚えていたが、変曲点はちゃんと...

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逆関数が連続であることの証明

微分の章は、すいすい読み進んでいける。とは言っても、本を閉じてすべての証明をすらすらと再構成出来るわけではない。そんなことは諦めて先に進もう。単調で微分可能な関数$f$に対して、微分可能な逆関数が存在するという定理が示されている。逆関数が微分可能なことを仮定して、逆関数を計算するのは自分でもすぐ出来るが、逆関数が微分可能なことはちゃんと証明しないといけない。証明の前半ではたと止まってしまった。逆関数...

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